چگونه قوانین نیوتن مهر تائیدی بر قوانین کپلر زد؟

مقدمه‌ای بر ستاره‌شناسی، اخترفیزیک و کیهان‌شناسی (فصل دو – بخش پنج)

گرانش نیوتنی

در بخش قبل در مورد قوانین کپلر و فرمول‌بندی آن‌ها گفتیم. قوانین کپلر را گاه با عنوان «قوانین تجربی کپلر» هم بیان می‌کنند. دلیل استفاده از این عنوان این است که کپلر توانست با فرمول‌بندی ریاضی نشان دهد مدلی که می‌تواند مکان سیاره‌ها در آسمان را به درستی توصیف و پیش‌بینی کند، باید مدارهایی بیضوی برای سیاره‌ها در نظر بگیرد، سرعت سیاره‌ها در حرکت مداری‌شان تغییر کند، و رابطه‌ای ریاضی بین دوره‌ی تناوب حرکت مداری سیاره و نیم‌قطر بزرگ بیضی مداری باشد. گرچه کپلر تا همین‌جا هم دستاورد علمی قابل توجهی ارائه کرده بود، اما نتوانسته بود پاسخی به این پرسش بدهد که چرا قوانینی که ارائه کرده است درست هستند؟ چرا مدارها باید بیضوی باشند نه دایره‌ای؟ چرا دوره تناوب مداری سیاره‌ها طول نیم‌قطر بزرگ بیضی مداری را تعیین می‌کند؟

تاریخچه

در نهایت نیوتن توانست به طور نظری نیز قوانین کپلر را اثبات کند. چند دهه پس از ارائه قوانین کپلر، برخی از دانشمندان هم دوره با نیوتن که عضو انجمن سلطنتی علوم بودند متقاعد شدند که خورشید نیروی جاذبه‌ای بر سیاره‌ها وارد می‌کند که قدرت آن با نسبت توان دوم فاصله‌ی میان خورشید و سیاره کاهش می‌یابد، و این حقیقت می‌تواند قوانین کپلر را توضیح دهد. رابرت هوک ادعا کرده بود که می‌تواند ثابت کند سیاره‌ها روی مداری بیضوی حرکت می‌کنند و آن را به عنوان یک مسئله مطرح کرد. در همان دوره زمانی کریستوفر رِن، هوک و اِدموند هالی را به این چالش دعوت کرد که مسئله را حل کنند و ۴۰ شیلینگ جایزه برای آن تعیین کرد. اما نه این دو تن و نه هیچ کس دیگر موفق به دریافت این جایزه نشد.

در تابستان ۱۶۸۴ هالی در بازدیدی که از دانشگاه کمبریج داشت نیوتن را دید و از او در مورد شکل مدار سیاره‌ها در حرکت به دور خورشید پرسید، در صورتی که نیروی جاذبه‌ای متناسب با وارون توان دوم فاصله از خورشید بر آن‌ها وارد شود. نیوتن بی‌درنگ پاسخ داد «بیضی». او اذعان داشت که سال‌ها قبل این حقیقت را محاسبه کرده است. در واقع ۵ سال پیش از آن رابرت هوک از نیوتن در مورد مسیر حرکت اجسام در حال سقوط به طرف جسمی که نیروی جاذبه‌ای متناسب با وارون توان دوم فاصله اعمال می‌کند پرسیده بود و در پاسخ به او نیوتن این محاسبات را انجام داده بود. اما در این نسخه از محاسبات اشتباهی وجود داشت که هوک آن را یافته بود. در زمانی که هالی این پرسش را با او مطرح کرد نیوتن مسئله بار دیگر حل کرد و پاسخ خود را سه ماه بعد در مقاله‌ای برای هالی فرستاد. در این مقاله نیوتن به درستی قوانین کپلر را از قانون وارون توان دوم جاذبه و قوانین مکانیک نتیجه گرفت بود. به این ترتیب نیوتن کتاب اصول (اصول ریاضی فلسفه طبیعی) را خلق کرد.

قوانین نیوتن و گرانش

نیوتن در کتاب اصول، سه قانون خود را ارائه کرد که به قرار زیرند:

قانون لختی: هر جسمی در حال سکون یا در حال حرکت با سرعت ثابت روی یک خط راست در همان حال خواهد ماند مگر آن که نیرویی بر آن اعمال شود.
شتاب یک جسم متناسب است با نیرویی که به آن وارد می‌شود و با این نیرو هم‌جهت است.
$F = ma$
قانون کنش و واکنش: به ازای هر کنشی، واکنشی برابر با آن و در خلاف جهت آن وجود دارد.

علاوه بر این‌ها او قانون جهانی گرانش را نیز ارائه کرد، که بر اساس آن نیروی گرانش بین دو جسم جرم‌دار برابر است با:

$F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{d^2}}}$

که بر اساس آن نیروی گرانش به جرم هر دو جسم، ثابت جهانی گرانش (G)، و وارون توان دوم فاصله‌ی دو جسم (d) بستگی دارد. فاصلۀ دو جسم در این رابطه از مرکز یکی تا مرکز دیگری اندازه‌گیری می‌شود. به این ترتیب اگر برای مثال بخواهید نیروی وارد بر خودتان از سوی زمین را محاسبه کنید، باید d را برابر با شعاع زمین در نظر بگیرید که در واقع فاصلۀ شما از مرکز زمین است.

آزمایش توپ نیوتن

نیوتن، با استفاده از این قوانین و تکنیک‌های ریاضی محاسباتی که خود ابداع کرده بود، توانست ثابت کند که سیاره‌ها در مداری به دور خورشید می‌چرخند، به سبب آن که نیروی گرانشی از سوی خورشید بر آن‌ها اعمال می‌شود. این که حرکت در یک مدار به چه شکل اتفاق می‌افتد را می‌توان با آزمایشی ذهنی درک کرد. این آزمایش منسوب به نیوتن است و آن را با عنوان «آزمایش توپ نیوتن» می‌شناسیم.

فرض کنید یک توپ جنگی روی کوه بلندی روی خط استوا قرار دارد. اگر یک گلوله توپ را به صورت افقی شلیک کنیم، یعنی به موازات خط استوا و سطح زمین، در صورتی که نیروی گرانشی از سمت زمین به آن وارد نشود، گلوله باید در یک خط مستقیم در جهتی که شلیک شده است حرکت کند. اما گلولۀ توپ همزمان با حرکت در راستای افق، در راستای عمود هم به سمت زمین حرکت می‌کند و در نهایت به زمین برخورد می‌کند. اگر شما گلوله را با نیروی بیش‌تری شلیک کنید، پیش از برخورد با زمین مسافت افقی بیش‌تری را می‌پیماید. آن‌چه که گلولۀ توپ را به سمت زمین می‌کشد نیروی گرانش زمین است. حال فرض کنید شما با چنان نیرویی توپ را به جلو شلیک کنید، که به سمت زمین بیفتد اما به سبب سرعت بالا هرگز به زمین برخورد نکند. در این صورت در یک مدار بیضوی به دور زمین حرکت خواهد کرد. این آزمایش را با استفاده از شبیه‌سازی ساده‌ای می‌توانید در این صفحه (لینک) مشاهده کنید که توسط دانشگاه ویرجینیا طراحی شده است. سرعت را تنظیم کنید و شلیک کنید، سپس مسیر حرکت گلوله توپ را دنبال کنید.

چیزی که در صفحه بالا مشاهده می‌کنید را می‌توانید در تصاویر متحرک زیر ببینید. به ازای سرعت‌های متفاوتی که گلولۀ توپ داشته باشد، اگر از بالای قطب شمال به آن نگاه کنیم، مسیرهایی به شکل‌های زیر را می‌پیماید.

آزمایش توپ نیوتن با سرعت 6000 متر بر ثانیه

آزمایش توپ نیوتن با سرعت ۶۰۰۰ متر بر ثانیه

آزمایش توپ نیوتن با سرعت 8000 متر بر ثانیه

آزمایش توپ نیوتن با سرعت ۸۰۰۰ متر بر ثانیه

آزمایش توپ نیوتن با سرعت 7300 متر بر ثانیه

آزمایش توپ نیوتن با سرعت ۷۳۰۰ متر بر ثانیه

آزمایش توپ نیوتن با سرعت 10000 متر بر ثانیه

آزمایش توپ نیوتن با سرعت ۱۰۰۰۰ متر بر ثانیه

تصویر زیر نیز صفحۀ ششم از کتاب اصول نیوتن را نشان می‌دهد که تصویر این آزمایش را ترسیم کرده است.

هرچند زمین هرگز توسط یک توپ شلیک نشده است تا به دور خورشید حرکت کند، اما قوانین فیزیک مشابهی بر آن حاکم است. فرض کنید زمین بدون این که نیرویی به آن وارد شود در فضا در حرکت است. بر اساس قانون اول نیوتن، تا زمانی که نیرویی بر آن وارد نشده است به حرکت مستقیم خود در فضا ادامه می‌دهد. اگرچه به خورشید هم نیروی کششی از سوی زمین وارد می‌شود، درست برابر با همان نیروی کششی که زمین از سوی خورشید احساس می‌کند، اما کمتر بودن جرم زمین در برابر خورشید، موجب می‌شود که زمین کمی به سمت خورشید سقوط کند. ترکیب حرکت زمین در فضا و کششی که همواره از سوی خورشید بر آن وارد می‌شود، موجب می‌شود که زمین در مسیری نزدیک به یک دایره به دور خورشید در حرکت باشد.

نقش قانون لختی یا اینرسی در حرکت سیاره‌ها

یادآوری یک نکته در اینجا ضروری است. هرچند مسئله‌ی شکل‌گیری منظومه خورشیدی و سیاره‌ها و خورشید، بسیار پیچیده‌تر از فرض‌هایی است که ما اینجا مطرح می‌کنیم، اما این فرض‌ها قانون حاکم بر حرکت آن‌ها را به بیانی ساده برای ما توصیف می‌کند. باید توجه داشته باشیم که زمانی که فرض می‌کنیم زمین بر اساس قانون لختی در فضا در مسیری مستقیم در حرکت است، فراموش نکنیم که لختی یا اینرسی یک نیرو نیست. یعنی نیرویی به نام لختی وجود ندارد که مانع از سقوط زمین روی خورشید شود و با نیروی گرانش خورشید مقابله کند. در حقیقت لختی یک ویژگی است که مشخص می‌کند یک جسم با چه شدتی در برابر تغییر حرکتش مقاومت می‌کند. بنابراین فرض کنید سیاره‌ای در حال حرکت بر روی یک خط مستقیم است؛ این سیاره لختی زیادی دارد، زیرا بزرگ و سنگین است و هر نیرویی نمی‌تواند حرکت آن را دستخوش تغییر کند. از سوی دیگر نیروی گرانشی که از سوی خورشید به سیاره‌ها وارد می‌شود، آن قدر قوی هست که مسیر حرکت سیاره را از یک خط مستقیم منحرف کند. اگر سرعت مماسی سیاره با تغییرات سرعت ناشی از نیروی گرانش در تعادل باشد، یک مدار حرکت پایدار برای سیاره رقم خواهد زد.

نتیجه‌گیری قوانین کپلر از قوانین نیوتن

با انجام کمی محاسبات ریاضی می‌توانیم قوانین کپلر را از قوانین نیوتن استخراج کنیم. در اغلب کتاب‌های مکانیک کلاسیک و مکانیک تحلیلی نیز می‌توانید این محاسبات را بیابید. از جمله می‌توان ثابت کرد شکل مدار حاصل از یک نیروی مرکزی (مثل گرانش) بیضوی است. می‌توان نشان داد سرعت حرکت شیء در چنین مداری، در نزدیکی حضیض بیش‌تر و در نزدیکی اوج کم‌تر است. و به همین ترتیب می‌توان رابطۀ تناسب مربع زمان تناوب با مکعب نیم‌محور بزرگ مداری را نیز استخراج کرد. در حقیقت نیوتن توانست مقدار k یعنی ثابت تناسب بین این دو مقدار را نیز محاسبه کند. امروز ما شکل دیگر قانون سوم کپلر را بر اساس آن‌چه نیوتن به دست آورد، به صورت زیر می‌نویسیم:

${T^2} = {{\left( {4{\pi ^2}{a^3}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {4{\pi ^2}{a^3}} \right)} {G\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {G\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}$

که در آن:

$k = {{4{\pi ^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4{\pi ^2}} {G\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {G\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}$

با استفاده از این رابطه، اگر بتوانیم دوره تناوب زمانی حرکت مداری یک شیء و طول نیم‌قطر بزرگ مدار آن را اندازه بگیریم. می‌توانیم مجموع جرم دو جسم را محاسبه کنیم.

قانون اول کپلر، یعنی حرکت سیاره‌ها در مدارهای بیضوی، از حل معادله دیفرانسیل مدار یک ذره متحرک تحت تأثیر نیروی مرکزی گرانش به دست آورد. با توجه به رابطه‌ای که برای نیروی گرانش داریم، و این که جرم خورشید خیلی بزرگ‌تر از جرم سیاره‌ها است، می‌توانیم این نیروی مرکزی را به صورت زیر در نظر بگیریم:

$f\left( r \right) = - \frac{k}{{{r^2}}}$

که در آن k=GMm است، M جرم خورشید (نیروی ثابت مرکزی) و m جرم سیاره است.

تفاوت قوانین کپلر و قوانین نیوتن

قوانین نیوتن، هرچند کمی پس از قوانین کپلر ارائه شد و آن‌ها را تائید می‌کرد، تفاوتی اساسی با قوانین کپلر دارند.

قوانین نیوتن به طور کل در مورد حرکت و نیرو هستند و به طور ضمنی به برهمکنش میان اجسام می‌پردازند، در حالی که قوانین کپلر حرکت یک سیستم سیاره‌ای را توصیف می‌کنند و کاری به تعبیر آن ندارند.
قوانین نیوتن دینامیکی هستند، و روابط بین نیرو، جرم، فاصله و زمان را ارائه می‌کنند، در صورتی که قوانین کپلر سینماتیکی هستند و رابطۀ بین فاصله و زمان را به ما می‌دهند.
قوانین کپلر نه تنها به منظومۀ خورشیدی که به قمرهایی که به دور سیاره‌ها می‌چرخند و به ماهواره‌های مصنوعی نیز اعمال می‌شود.
علاوه بر این موارد، قوانین کپلر تنها برای دستگاه‌هایی معتبر است که در آن‌ها قانون نیرو، عکس مجذوری باشد.

نیروی گرانش زمین در ایستگاه فضایی نسبت به سطح زمین چه تفاوتی دارد؟

در نهایت می‌خواهیم محاسباتی انجام دهیم که می‌تواند اثر نیروی گرانش را برای ما ملموس‌تر کند. بدن ما روی زمین با نیروی گرانشی که به آن وارد می‌شود سازگار شده است. زمانی که فضانوردان به ایستگاه فضایی می‌روند، به طور مشهودی گرانش کم‌تری را احساس می‌کنند. اما واقعاً چقدر کم‌تر؟ گرانش روی سطح زمین چند برابر بیشتر از ایستگاه فضایی است؟

اگر نیروی گرانش روی زمین و در ایستگاه فضایی بین‌المللی (ISS) را بنویسیم، برابرند با:

${F_{onEarth}} = G\frac{{{m_E}{m_o}}}{{{d_{onEarth}}^2}},$

${F_{ISS}} = G\frac{{{m_E}{m_o}}}{{{d_{ISS}}^2}}.$

نسبت این دو نیرو برابر خواهد بود با:

$\frac{{{F_{ISS}}}}{{{F_{onEarth}}}} = \frac{{\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{d_{ISS}}^2}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{d_{ISS}}^2}}} \right)}}{{\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{d_{onEarth}}^2}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{d_{onEarth}}^2}}} \right)}} = \frac{{{d_{onEarth}}^2}}{{{d_{ISS}}^2}}$

زمانی که روی زمین قرار داریم، فاصله را برابر با شعاع زمین یعنی ۶۴۰۰ کیلومتر در نظر می‌گیریم. ایستگاه فضایی و ماهواره‌ها نیز فاصلۀ زیادی با زمین ندارند و ایستگاه فضایی بین‌المللی به طور تقریبی از سطح زمین ۴۰۰ کیلومتر فاصله دارد، بنابراین فاصلۀ ایستگاه فضایی را ۶۸۰۰ کیلومتر در نظر می‌گیریم. نسبت این نیروها برابر خواهد بود با:

$\frac{{{F_{ISS}}}}{{{F_{onEarth}}}} = \frac{{{{\left( {6400} \right)}^2}}}{{{{\left( {6750} \right)}^2}}} = 0.886$

همانطور که مشاهده می‌کنید افرادی که در ایستگاه فضایی بین‌المللی هستند نزدیک به نود درصد نیروی گرانشی را حس می‌کنند که روی زمین حس می‌کردند. حالا نظرتان در مورد احساس بی‌وزنی در ایستگاه فضایی چیست؟

مقدمه

هدف و دورنمای این مجموعه مطالب

فصل یک

بخش یک: مقدمه و تعریف‌ها

بخش دو: روز و شب

بخش سه: مسیر خورشید در آسمان

بخش چهار: ارتفاع خورشید در آسمان و پیدایش فصل‌ها

بخش پنج: ماه و حرکت آن در آسمان

بخش شش: گرفت‌ها در آسمان (خورشیدگرفتگی و ماه‌گرفتگی)

فصل دو

بخش یک: با چشمان غیرمسلح در آسمان چه می‌بینیم؟

بخش دو: ستاره‌شناسان باستان چگونه مکان و حرکت اجرام آسمانی را توصیف می‌کردند؟