قوانین کپلر و مشاهدات براهه چگونه مسیر علم را تغییر داد؟

مقدمه‌ای بر ستاره‌شناسی، اخترفیزیک و کیهان‌شناسی (فصل دو – بخش چهار)

قوانین کپلر برای حرکت سیاره‌ها

یوهان کپلر دستیار تیکو براهه ستاره‌شناس سدۀ شانزدهم میلادی بود. این دو دانشمند سهم به سزایی در پیشرفت محاسبات نجومی داشتند. براهه اندازه‌گیری‌های نجومی دقیق و بی‌سابقه‌ای انجام داد و کپلر با نبوغ ریاضی و شهامت بسیار داده‌هایی که براهه جمع‌آوری کرده بود را فرمول‌بندی کرد و قوانین خود، مشهور به قوانین کپلر را از دل آن بیرون کشید. مطالعات و محاسبات این دو در مطالعۀ سیاره‌ها پایه‌ای ریاضی و علمی برای مدل خورشیدمرکزی ارائه کرد. با وجود این که مدل‌های بطلیموس و کوپرنیک بر این فرض استوار بود که دایره یک شکل «کامل» است و تمام مدارها باید به شکل دایره باشند، کپلر نشان داد که بر اساس محاسبات ریاضی، یک مدار دایره‌ای نمی‌تواند داده‌های به دست آمده از مسیر حرکت مریخ در آسمان را توجیه کند.

بنابراین کپلر پس از انجام محاسباتی پرزحمت که هجده سال به طول انجامید، سه قانون تجربی زیر را ارائه کرد:

قانون مدارها: هر سیاره روی یک مدار بیضی‌وار حرکت می‌کند که خورشید در یکی از کانون‌های آن قرار دارد (و کانون دیگر خالی است).
قانون مساحت‌ها: بردار شعاعی از خورشید تا سیاره (خط واصل خورشید و سیاره) در بازه‌های زمانی برابر مساحت‌های برابر را جارو می‌کند.
قانون زمان تناوب‌ها: مربع زمان تناوب دوران هر سیاره به دور خورشید به طور مستقیم متناسب با مکعب محور اصلی مدار سیاره (نیم‌قطر بزرگ بی مداری) است.

قوانین کپلر نقشی حیاتی در تکامل قانون گرانش توسط نیوتن داشتند. با این حال قانون دوم کپلر توانست نشان دهد که سرعت حرکت یک سیاره در طول حرکت در مدارش تغییر می‌کند.

قانون اول کپلر

برای رسم یک بیضی می‌توانیم از یک تکه نخ، دو سوزن ته‌گرد و یک مداد کمک بگیریم. ابتدا دو کانون را با سوزن‌های ته‌گرد مشخص می‌کنیم، سپس نخ را با اندازه‌ای بزرگ‌تر از فاصله‌ی دو کانون (سوزن) گره می‌زنیم و مطابق با آن‌چه در تصویر می‌بینید با کمک مداد بیضی را رسم می‌کنیم. به این ترتیب مجموع فاصله‌ی نقطه‌ای که نوک مداد قرار گرفته است با کانون‌های بیضی همواره مقدار ثابتی خواهد بود. پویانمایی زیر نیز روش رسم بیضی را به تصویر کشیده است.

می‌دانیم که در یک دایره تمام خطوطی که از مرکز می‌گذرند (یعنی قطرها) با هم برابرند. اما در یک بیضی خطوطی که از مرکز بیضی می‌گذرند اندازه‌های متفاوتی دارند. خطی که از هر دو کانون بیضی می‌گذرد را قطر بزرگ بیضی (بیشترین فاصله بین دو نقطه بر روی یک بیضی) و عمود منصف آن را قطر کوچک (کمترین می‌نامند فاصله بین دو نقطه بر روی یک بیضی). دو خطی را نیز که به موازات قطر کوچک بیضی رسم می‌شوند و از کانون‌ها می‌گذرند راست‌وتر کانونی می‌نامند. در شکل زیر می‌توانید این مقادیر را ببینید.

زمانی که دو کانون بیضی بر هم منطبق شوند ما یک دایره خواهیم داشت و هر قدر فاصله دو کانون بیش‌تر باشد، بیضی کشیده‌تر است و می‌گوییم خروج از مرکز بیشتری دارد. در برخی از تصاویری که به هدف نمایش مدار بیضوی سیاره‌ها آماده شده است، خروج از مرکز بیضی‌ها به شکل اغراق شده‌ای بزرگ نمایش داده می‌شود. اما در واقع مدار بیش‌تر سیاره‌ها در منظومه خورشیدی ما بسیار به دایره نزدیک است و خروج از مرکز بسیار کوچکی دارد. برای مثال خروج از مرکز مدار حرکت زمین به دور خورشید حدود هفده هزارم، برای مریخ حدود نود و سه هزارم، و برای پلوتو که بیشترین خروج از مرکز را در میان مدار سیاره‌های منظومه شمسی دارد، حدود بیست و پنج صدم است. این مقدار برای دنباله‌دار هالی به طور تقریبی برابر با نود و هفت صدم است که بسیار به یک نزدیک است. دنباله‌دارها در منظومه خورشیدی ما، اشیای آسمانی‌ای هستند که مدارهایی به شکل بیضی کشیده دارند. زمانی که یک سیاره (یا شیء آسمانی) در مدار خود در نزدیک‌ترین نقطه به خورشید قرار دارد می‌گوییم در حضیض است و زمانی که در دورترین نقطه قرار دارد می‌گوییم در اوج است. در تصویر زیر می‌توانید مدار سیاره‌های منظومه خورشیدی و اندازه خروج از مرکز آن‌ها را مشاهده کنید.

از قانون اول کپلر دو نتیجه می‌گیریم:

با حرکت سیاره در مدارش به دور خورشید، فاصله بین سیاره و خورشید تغییر می‌کند.
خورشید بیرون از مرکز مدار چرخش سیاره به دور خورشید قرار دارد.

قانون دوم کپلر

یونانیان باستان در مدل‌هایی که برای منظومه خورشیدی ساخته بودند باور ارسطویی را اصل قرار داده بودند، مبنی بر این که اشیاء آسمانی با سرعت ثابتی روی یک دایره حرکت می‌کنند زیرا این «حرکت طبیعی» آن‌هاست. همان طور که بالاتر خواندیم بر اساس قانون دوم کپلر خطی که خورشید و سیاره را به هم وصل می‌کند، در زمان‌های مساوی مساحت‌های مساوی را جارو می‌کند. تصویری که در زیر آمده است این قانون را نمایش می‎دهد.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید زمانی که سیاره نزدیک به نقطه‌ی اوج قرار دارد (یعنی در دورترین فاصله از خورشید که با حرف B مشخص شده است) خطی که بین خورشید و سیاره رسم شده است، یعنی بخش بین نقاط A و B، مساحتی دراز و لاغر را جارو می‌کند. و زمانی که سیاره نزدیک به نقطه‌ی حضیض قرار دارد (یعنی در نزدیک‌ترین فاصله از خورشید که با حرف C مشخص شده است) خط واصل خورشید و سیاره مساحت بین نقطه C و D را جارو می‌کند که چاق‌تر اما کوتاه‌تر (کم‌تر کشیده شده) است. تمام سطح بیضی‌ای که در تصویر می‌بینید به بخش‌های آبی و طوسی تقسیم شده است که تمام بخش‌ها مساحت‌های برابری دارند.
به سبب آن که مساحت همه‌ی بخش‌ها یکسان است، قانون دوم کپلر به ما می‌گوید که مدت زمانی که طول می‌کشد تا سیاره از نقطه A به B برود با زمانی که طول می‌کشد تا سیاره مسافت بین نقاط C و D را بپیماید باید یکسان باشد. از سوی دیگر مسافت بین نقاط A و B کوتاه‌تر از مسافت بین نقاط C و D است. به این ترتیب سیاره در فاصله‌ی نقاط A و B مسافت کمتری را در مقایسه با فاصله C و D در زمان برابر پیموده است و بنابراین سرعت آن در این بخش از مسیر کم‌تر بوده است (می‌دانیم که سرعت برابر است با مسافت بخش بر زمان). نتیجه این که:

سیاره در نزدیک حضیض تندتر و در نزدیکی اوج کندتر حرکت می‌کند.

شکل متحرک این تصویر را می توانید از لینک مقابل دانلود کنید: second kepler rule

اما همان‌طور که در تصاویر بالا دیدیم، مدار بیشتر سیارات به طور تقریبی دایره است و خروج از مرکز آن‌ها نزدیک به صفر است. بنابراین در مورد سیارات منظومه خورشیدی، سرعت حرکت در بخش‌های مختلف مدار تغییر چندانی ندارد.

اگر کمی فیزیک بدانیم، با کمی دقت درخواهیم یافت که قانون دوم کپلر بیانی از پایستگی تکانه زاویه‌ای است. به این معنا که، زمانی که سیاره نزدیک حضیض است، فاصله خورشید و سیاره کم‌تر است بنابراین سرعت مماس آن باید افزایش یابد تا تکانه زاویه‌ای ثابت بماند. به همین ترتیب زمانی که سیاره نزدیک به اوج قرار دارد در دورترین فاصله از خورشید است و باید سرعت مماس آن کاهش یابد تا تکانه زاویه‌ای کل ثابت بماند.

قانون سوم کپلر

کپلر تمام داده‌هایی که براهه در مورد سیاره‌ها ثبت کرده بود را در اختیار داشت، بنابراین او می‌توانست مشخص کند که چه مدت زمانی طول می‌کشد تا هر سیاره یک دور کامل در مدار خود به دور خورشید بچرخد. این زمان را به طور معمول با عنوان دوره تناوب مداری می‌شناسیم. کپلر دریافت که هرچه یک سیاره به خورشید نزدیک‌تر باشد، سریع‌تر یک دور کامل به دور خورشید می‌چرخد. او نخستین دانشمندی بود که سیاره‌ها را از این چشم‌انداز مورد مطالعه قرار داد که خورشید بر مدار آن‌ها تاثیر می‌گذارد. مدل او برخلاف چیزی بود که بطلیموس و کوپرنیک با عنوان حرکت طبیعی برای سیاره‌ها در نظر گرفته بودند. کپلر بر این باور بود که خورشید نوعی نیرو بر سیاره‌ها اعمال می‌کند تا آن‌ها را در مدارشان نگه دارد؛ و به همین دلیل سیاره‌هایی که به خورشید نزدیک‌ترند باید با سرعت بالاتری حرکت کنند.

کپلر زمان تناوب مداری سیاره‌ها و فاصله‌ی آن‌ها از خورشید را مورد مطالعه قرار داد، و روابط ریاضی‌ای که در ادامه آمده است را از آن‌ها استخراج کرد که همان قانون سوم کپلر است.

مربع دوره تناوب مداری سیاره (T) به طور مستقیم متناسب است با مکعب نیم‌قطر بزرگ مدار بیضوی سیاره (a).

${T^2} \propto {a^3}$

یا

${T^2} = k{a^3}$

که k عددی ثابت است. اگر رابطه را برحسب k به دست آوریم، خواهیم داشت:

$\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = k$

بنابراین برای هر سیاره‌ای در منظومه خورشیدی ما نسبت مربع دوره تناوب مداری به مکعب نیم‌قطر بزرگ مدار مقدار ثابتی است؛ یعنی:

${\left( {\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}}} \right)_{Earth}} = {\left( {\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}}} \right)_{Mars}} = {\left( {\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}}} \right)_{Jupiter}} = k$

ما می‌دانیم که دوره‌ی گردش زمین به دور خورشید یک سال است. در زمان کپلر فاصله‌ی بین خورشید و سیاره‌های مختلف حتی زمین اندازه‌گیری نشده بود، اما می‌توانیم فرض کنیم فاصله‌ی زمین تا خورشید برابر یک واحد است که ما آن را واحد نجومی (AU) می‌نامیم. بنابراین بدون این که بدانیم یک واحد نجومی چه اندازه‌ای از بزرگی است تنها قرار می‌دهیم:

${a_{Earth}} = 1$

به این ترتیب اگر برای زمین یک سال و یک واحد نجومی را در نظر بگیریم خواهیم داشت:

$\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = 1$

و بنابراین برای همه‌ی سیاره‌ها مقدار k برابر با یک است، در حالی که T برحسب سال و a برحسب واحد نجومی در نظر گرفته می‌شود. با استفاده از این رابطه و اطلاعات به دست آمده اگر بخواهیم بدانیم زحل برحسب واحد نجومی چقدر با خورشید فاصله دارد کافی است زمان تناوب مداری آن را داشته باشیم. برای زحل دوره تناوب مداری به طور تقریبی برابر با ۲۹ سال است. بنابراین:

${\left( {\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}}} \right)_{Saturn}} = 1$

$\left( {\frac{{{{\left( {29years} \right)}^2}}}{{{{\left( {aAU} \right)}^3}}}} \right) = 1$

${\left( {aAU} \right)^3} = 841$

$aAU = \sqrt[3]{{841}} = 9.4AU$

بنابراین فاصله زحل تا خورشید ۹/۴ برابر فاصله زمین تا خورشید است.

با همه‌ی دستاوردهایی که قوانین کپلر داشت، او دلیلی نداشت برای این که چرا چنین قوانینی بر منظومه خورشیدی ما حاکم است. دلیل و اثبات علمی این قوانین پس از آن که نیوتن گرانش را کشف کرد روشن شد. در بخش بعد به گرانش نیوتنی و اثبات قوانین کپلر به کمک آن‌ها می‌پردازیم.

مقدمه

هدف و دورنمای این مجموعه مطالب

فصل یک

بخش یک: مقدمه و تعریف‌ها

بخش دو: روز و شب

بخش سه: مسیر خورشید در آسمان

بخش چهار: ارتفاع خورشید در آسمان و پیدایش فصل‌ها

بخش پنج: ماه و حرکت آن در آسمان

بخش شش: گرفت‌ها در آسمان (خورشیدگرفتگی و ماه‌گرفتگی)

فصل دو

بخش یک: با چشمان غیرمسلح در آسمان چه می‌بینیم؟

بخش دو: ستاره‌شناسان باستان چگونه مکان و حرکت اجرام آسمانی را توصیف می‌کردند؟